L’analisi del secondo ordine è importante per le categorie di strutture particolarmente snelle, come ad esempio i manufatti in acciaio. In questo articolo vedremo come NextFEM Designer gestisce le analisi del secondo ordine.

L’Eurocodice 3 parte 1-14:2025 di recente pubblicazione offre una metodologia da seguire per l’analisi numerica a elementi finiti delle strutture in acciaio, classificando le analisi per il modo in cui gestiscono le non linearità:

• LA (Linear Elastic Analysis): Analisi elastica lineare. Prevede il comportamento della struttura basandosi su piccoli spostamenti, piccole deformazioni e materiale elastico lineare, riferendosi alla geometria iniziale

• LBA (Linear Elastic Bifurcation Analysis): Analisi di biforcazione elastica lineare. Ricava gli autovalori (load factor) e gli autovettori (modi di instabilità) per i quali la struttura può instabilizzarsi, ignorando le imperfezioni e assumendo un materiale elastico lineare. Fornisce il carico critico elastico, cioè il carico corrispondente alla biforcazione dell’equilibrio.

• MNA (Materially Nonlinear Analysis): Analisi con non linearità del materiale. Considera un materiale elastico-plastico ma assume piccoli spostamenti (geometria del primo ordine) e geometria perfetta. Fornisce la resistenza plastica.

• GNA (Geometrically Nonlinear Elastic Analysis): Analisi con non-linearità geometrica. Utilizza un materiale elastico lineare ma include gli effetti del secondo ordine (grandi spostamenti) sulla geometria perfetta.

• GMNA (Geometrically and Materially Nonlinear Analysis): Analisi con non linearità geometrica e del materiale. Combina entrambe le non linearità di geometria e materiale, fornendo la resistenza senza considerare le imperfezioni.

• GNIA (Geometrically Nonlinear Elastic Analysis with Imperfections): Analisi elastica con non linearità geometrica e imperfezioni. Include esplicitamente le imperfezioni geometriche e le tensioni residue, mantenendo un materiale elastico lineare.

• GMNIA (Geometrically and Materially Nonlinear Analysis with Imperfections): Analisi con non linearità geometrica, del materiale e imperfezioni. Include tutte le non linearità e le imperfezioni, fornendo la resistenza caratteristica della struttura.

La scelta dell’analisi viene spesso influenzata anche dalle esigenze pratiche: se la verifica è basata sulle combinazioni di progetto, allora è fondamentale non perdere la sovrapponibilità degli effetti e pertanto sarà privilegiata l’analisi lineare.

La norma europea definisce  come il più piccolo moltiplicatore di carico ottenuto da un’analisi di stabilità (buckling lineare) per un modo “sway” (di sbandamento, ovvero la deformata - autovettore - non deve mostrare un modo locale o di altro tipo). È necessario prevedere altre analisi a supporto della consueta LA (ad esempio la LBA, da eseguire sempre per strutture in acciaio). Se invece  possiamo procedere con le analisi lineari.

La scelta del metodo di analisi (e verifica delle membrature successiva) si riassume nella seguente classificazione da Eurocodice 3:

• M0/M1: Solo primo ordine, nessuna imperfezione (strutture molto rigide).

• M2: Primo ordine globale, ma include le imperfezioni di sbandamento tramite forze orizzontali equivalenti.

• M3: Secondo ordine globale, include le imperfezioni di sbandamento; richiede verifiche di stabilità delle membrature con le curve di instabilità.

• M4: Secondo ordine globale, include sia sbandamento che arco (nel piano). Non serve la verifica di instabilità nel piano.

• M5: Secondo ordine totale con tutte le imperfezioni (incluso torsionali). Se tutte le non linearità sono incluse, non servono ulteriori verifiche di stabilità per le membrature.

• EM (Equivalent Member): Analisi globale del primo ordine senza imperfezioni, recuperando tutto tramite l'uso di lunghezze di libera inflessione appropriate nelle verifiche delle singole membrature.

Quali analisi sono supportate da NextFEM Designer?

NextFEM Designer supporta tutte le analisi lineari e non lineari elencate:

- Buckling: l’analisi corrisponde a quanto richiesto dalla LBA come definita in precedenza. Considera la struttura elastica ed è un’analisi agli autovalori per fornire i moltiplicatori del carico critico. Al pari dell’analisi modale, non vengono considerati elementi a sola trazione/compressione.

- PDelta: analisi lineare a singolo step di carico per fornire forze e spostamenti considerando anche il secondo ordine (GNA). Questa analisi non considera elementi a sola trazione/compressione, assumendo un comportamento lineare. Questo per assicurare la piena sovrapponibilità degli effetti se usata per formare combinazioni di carico.

- Analisi statica/dinamica non lineare: corrisponde alla MNA, gli elementi a sola trazione/compressione sono sempre considerati, come anche eventuali molle non lineari o cerniere plastiche.

- Analisi statica/dinamica non lineare con effetti del secondo ordine: corrisponde alla GMNA; rispetto alla precedente, aggiunge gli effetti del secondo ordine.

A queste analisi possono essere aggiunti gli effetti delle imperfezioni (tramite forze equivalenti) per ottenere GNIA e GMNIA. Vedremo in un successivo articolo come procedere.

Infine, nella verifica delle membrature in acciaio, NextFEM Designer permette di definire a livello di elemento:

- la lunghezza libera di inflessione L0yy e L0zz

- alternativamente, i rapporti fra lunghezza libera di inflessione e lunghezza dell’elemento βyy e βzz

- i rapporti fra lunghezza libera di inflessione per la stabilità e lunghezza dell’elemento βby e βbz.

Il “secondo ordine” nell’analisi: come viene rappresentato?

Mentre la matrice di rigidezza elastica Ke raccoglie le relazioni lineari fra forza e spostamento, la matrice di rigidezza geometrica Kg contiene i termini di secondo ordine, dovuti alla non linearità geometrica. Si pensi ad esempio ad una struttura a mensola di luce L con un carico assiale P e uno trasversale Q all’estremo libero:

- in regime lineare, il momento alla base è Q L

- considerando gli effetti di secondo ordine si scrive l’equilibrio in configurazione deformata, quindi il momento alla base diventa Q L + P δ, con δ lo spostamento dell’estremo libero dovuto a Q.

L’equilibrio in configurazione deformata comporta sempre termini quadratici, di qui il nome “secondo ordine”, perché si va oltre l’approssimazione lineare di Ke raccogliendo i termini successivi ai primi in Kg.

La matrice Kg viene anche chiamata in letteratura matrice dello sforzo iniziale (initial stress matrix), o matrice di rigidezza differenziale o di stabilità geometrica.

Da quanto detto, si capisce che la matrice Kg cambia con gli incrementi di carico (se previsti). Ci aspettiamo generalmente spostamenti laterali maggiori quando includiamo gli effetti di secondo ordine in un’analisi a elementi finiti, quindi forze maggiori da verificare nelle membrature.

La formulazione di Kg in NextFEM Designer considera:

- gli effetti dell’instabilità euleriana, quindi i termini dipendenti dallo sforzo assiale N nelle travi

- gli effetti dell’instabilità flesso-torsionale, quindi i termini dipendenti dai momenti M (torcente e le due flessioni). Questo accade quando l’opzione evidenziata sotto è attiva.

Vediamo un esempio per comprendere la differenza fra i due attraverso un’analisi di buckling. Analizziamo un portale incastrato alla base con colonne HEA 240 e trave IPE 270. I giunti sono rigidi, e la trave è incernierata per l’asse debole.

L’analisi senza effetti dell’instabilità flesso-torsionale restituisce un moltiplicatore pari a 13.13, mentre considerandoli otteniamo un moltiplicatore del carico pari a 12.99.

Questo ci dice che la struttura non è sensibile agli effetti del secondo ordine (>10), tuttavia il secondo moltiplicatore è più basso, e questo indica una sensibilità maggiore rispetto al primo caso nei confronti dell’instabilità flesso-torsionale.