Parte 2 - Analisi non lineare

Ogni volta che ci troviamo di fronte a una non linearità in un modello (sia meccanica che geometrica) abbiamo bisogno di un'analisi non lineare. Principalmente, possono essere classificate in analisi statiche e dinamiche:

-          Nell'analisi statica, il sistema di equazioni da risolvere è  , dove K è la matrice di rigidezza, u il vettore che raccoglie gli spostamenti e le rotazioni nodali e F il vettore della forza applicata. In questo tipo di analisi, la variabile tempo viene utilizzata solo per ordinare i risultati (t = 0,1 precede t = 0,15, ecc.). Le velocità e le accelerazioni sono sempre nulle.

-          Nell'analisi dinamica, il sistema di equazioni da risolvere è , che coinvolge la matrice di massa , la matrice di rigidezza e la matrice di smorzamento .  è il vettore di spostamento che vogliamo trovare come soluzione del sistema,  è il vettore di trascinamento, che specifica per quali direzioni spaziali viene applicata l'accelerazione del suolo .

È ora di introdurre il concetto di effetti del secondo ordine. Il più semplice effetto del secondo ordine da considerare sulla trave è il cosiddetto effetto P-Delta. Prendiamo una semplice colonna a sbalzo con un carico laterale e uno di compressione. Una volta applicato il carico laterale, il carico verticale in alto causa un ulteriore momento del secondo ordine se l'equilibrio è calcolato sulla deformata.

      

La matrice di rigidezza geometrica Kg viene calcolata ogni volta che l'utente richiede gli effetti di secondo ordine - tale matrice è una funzione della condizione di carico applicata. Quindi, un'analisi PDelta ricerca iterativamente l'equilibrio considerando sia K che Kg. Lo stesso si verifica se l'utente seleziona l'opzione "2° ordine" in un'analisi non lineare, con la differenza principale che gli effetti di secondo ordine in questo caso sono pienamente considerati per tutti gli elementi supportati dal solutore.

Le analisi NL più comuni sono statiche e dinamiche, con o senza effetti di secondo ordine. L'analisi NL statica più utilizzata è il cosiddetto pushover, in cui un modello di edificio viene spinto in una direzione scelta da un insieme di forze per ogni piano. La forma dei vettori di forza è chiamata distribuzione, tipicamente tracciata sull'altezza. Possiamo distinguere due distribuzioni principali, che rappresentano il limite superiore e inferiore delle curve di pushover:

-          distribuzione modale o triangolare inversa, in cui le forze laterali aumentano con l'altezza dell'edificio. Questa distribuzione tipicamente minimizza il taglio totale alla base e massimizza la duttilità della struttura;

-          distribuzione uniforme, proporzionale alle masse se tutti i piani sono caricati allo stesso modo. Questa distribuzione tipicamente massimizza il taglio totale alla base e minimizza la duttilità della struttura.

 

Edificio RC come caso di studio (a sinistra) e distribuzioni delle forze di piano (a destra)

Per ottenere le forze di piano per il pushover, ci sono funzioni speciali integrate in NextFEM Designer. Dalla finestra Modifica / Funzioni…, puoi trovare questi comandi per generare i pattern di carico laterale:

-          Forze sismiche EC8, che genera una distribuzione triangolare inversa per l'edificio. È necessario fare riferimento a una funzione di spettro sismico aggiunta in precedenza e il modello deve avere diaframmi rigidi. Le forze laterali vengono assegnate automaticamente nei casi di carico selezionati;



-          Forze sismiche prop. masse EC8, che genera una distribuzione uniforme di forze laterali. Anche in questo caso, per procedere sono necessari i diaframmi rigidi.

Per le analisi pushover è buona norma procedere nel controllo dello spostamento attivando l'apposita opzione nelle impostazioni Assegna / Analisi: questo significa che la nostra analisi sarà guidata dallo spostamento di un nodo prescelto, normalmente assunto come baricentro della copertura. Tale impostazione consente all'analisi NL di passare attraverso le perdite di capacità che possono verificarsi durante il pushover, ad esempio quando una cerniera raggiunge la rottura. Chiamiamo questo "nodo di controllo".

Inoltre, è di fondamentale importanza impostare le seguenti proprietà dell'analisi statica non lineare:

-          Adeguato numero di step: il carico verrà applicato in modo incrementale, e ogni incremento è uguale al carico / numero di step finale;

-          Tempo di inizio viene adattato automaticamente se Esegui dopo non è vuoto. Un'analisi pushover deve essere condotta solo dopo l'applicazione dei carichi verticali;

-          L'opzione di controllo dello spostamento è abilitata. Viene automaticamente suggerito il nodo baricentrico del tetto. Gli utenti devono specificare la direzione del push-over;

-          L'incremento di tempo deve essere impostato sufficientemente piccolo. Il carico totale e il carico finale possono essere diversi, poiché l'analisi è terminata quando tutti i passaggi richiesti sono stati eseguiti, quindi carico finale = step * incremento di tempo. Nell'analisi statica, il tempo è assunto come proporzionale al carico. Nel caso di una sequenza di analisi, la proporzionalità inizia alla fine dell'analisi precedente (il carico verticale va da t = 0 a t = 1, il pushover successivo inizia da t = 1).

Alcuni strumenti di post-elaborazione sono disponibili nella Estrai dati finestra, incluso il controllo della curva di pushover globale condotto con il metodo N2. Questa funzione è liberamente accessibile senza alcuna licenza, così come i modelli a fibre in OpenSees.

Curve di pushover di un modello in fibra di telaio RC con distribuzioni uniforme e modale

L'analisi dinamica non lineare richiede che siano definite le masse nel modello. In NextFEM Designer, le masse vengono assegnate automaticamente dai casi di carico (da carico a massa, compreso il peso proprio) o possono essere impostate manualmente per ciascun nodo. In ogni caso vengono gestite solo le masse nodali.

L'analisi dinamica è stata implementata per lavorare con l’accelerazione al suolo, applicata in modo uniforme a tutti i nodi vincolati (tipicamente i nodi di base). Un movimento del suolo è rappresentato da una time-history di accelerazioni: nel solutore predefinito, questa viene automaticamente convertita in una time-history di spostamento e applicata ai nodi vincolati; in OpenSees, viene applicata direttamente un'accelerazione in una timeSeries. Tutte le funzioni del modello possono essere impostate in Assegna / Funzioni. Se caricata da file, è richiesto un formato di 2 colonne (tempo vs. accelerazione) - usare il punto come separatore decimale.

Unità in gal (cm / s^2)

L'analisi dinamica non lineare può essere impostata come segue. È importante selezionare:

-          La corretta time-history (TH) in Carichi TH o spettro con i suoi fattori: Fattore è un valore globale, mentre i parametri X, Y, Z, RX, RY, RZ determinano la direzione di moto del suolo ;

-          Quando viene selezionata una TH, il numero di step viene aggiornato automaticamente con la durata totale. Aumentare il numero di passi e impostare un opportuno incremento di tempo, in modo da mantenere lo stesso tempo totale;

-          Utilizzando il solutore integrato con una sequenza di analisi, un'analisi dinamica deve essere preceduta da un'analisi dello stesso tipo. In genere, l'utente può impostare la prima analisi dinamica per applicare i carichi verticali con uno smorzamento molto elevato. Il solutore OpenSees accetta un'analisi statica che precede la dinamica, come nella figura seguente;

-          Lo smorzamento, che può essere impostato secondo il modello di smorzamento proporzionale di Rayleigh. La matrice di smorzamento è impostata tramite un termine proporzionale alla massa  e uno proporzionale alla rigidezza :

in cui  è il coefficiente di smorzamento critico e T è il periodo di interesse, solitamente quello fondamentale se la sua partecipazione di massa è sufficiente per essere rappresentativa.

 

Si noti che i risultati del solutore integrato possono essere salvati anche da un'analisi non lineare incompiuta (Strumenti / Opzioni / Scrivi risultati temporanei devo essere deselezionato), mentre dal solutore OpenSees ciò non accade.